La porte quantique

1. Introduction

En informatique dite classique, l’informatique telle que nous la connaissons, utilise un ordinateur classique utilisant des bits c’est-à-dire des valeurs prenant des « 0 » ou des « 1 ». L’ensemble des actions effectuées sur un ordinateur correspond en effet à des opérations de bits. Ces opérations sont réalisées à l’aide de portes logiques qui permettent de faire des opérations sur un ou plusieurs bits. Ces portes logiques sont conçues au niveau de l’infrastructure avec des transistors. Un ordinateur personnel et son micro-processeur contiennent des millions de transistors.

2. Exemple de la porte logique NOT

Pour commencer à fixer les idées en vue de l’apprentissage des portes quantiques, prenons un premier exemple de porte logique, en l’occurrence la fonction NON et donc la porte logique NOT.

On commence par proposer la table de vérité qui propose les différents scénarios de la porte logique. Par exemple « S’il y a telle valeur en entrée alors on aura telle valeur en sortie » :

Illustration 1 : représentation de la porte logique NOT (non normalisée)

Ainsi, quand on envoie un bit de valeur 0 en entrée, on obtient...

1. Introduction

De manière un peu similaire, on va avoir ce type de schéma qui fait passer un bit quantique et son état quantique à un autre état grâce au passage dans une porte quantique, c’est-à-dire une sorte de brique à même de faire évoluer l’état :

Illustration 3 : représentation d’une porte quantique

On passe ainsi d’un état quantique à un nouvel état  ; U représente la matrice de passage d’un état à l’autre.

Pour rappel, un bit quantique peut se représenter de manière vectorielle. Si on a un état quantique défini à partir de deux bits quantiques, alors on a cet état tel que :

Donc l’état quantique peut s’exprimer de manière vectorielle, ainsi :

C’est ce vecteur qui sera soumis au calcul matriciel associé à la porte quantique.

Plus généralement, si est définit selon n qubits, alors l’état quantique sera défini comme une combinaison linéaire dans une base vectorielle de dimension 2ⁿ :

On a donc un vecteur de taille 2ⁿ pour représenter cet état quantique.

Pour rappel enfin, les coefficients respectifs sont liés ainsi à la probabilité d’atteindre l’état associé :  ; cette propriété va d’ailleurs être mise en œuvre dès l’étude de la première porte quantique.

2. Porte de Hadamard (H)

Le propos de cette porte qui porte le nom du mathématicien français Jacques Hadamard (1865 - 1963) est de rendre équiprobables et alors qu’en entrée on a un qubit dans un état non superposé. On souhaite en effet qu’il y ait autant de chances après mesure d’atteindre que de chances d’atteindre  :

1. Introduction

La section précédente a présenté la notion de porte quantique et a inventorié les principales portes quantiques à un bit quantique en entrée. Le présent sous-chapitre se concentre sur les portes quantiques prenant deux bits quantiques en entrée. En l’occurrence, les portes quantiques à deux entrées ont un nombre variable de sorties selon la porte considérée : une, deux ou plus de sorties.

2. Porte cNOT (cX)

La porte cNOT (comme controlled not) permet d’opérer un NOT sur le second bit quantique d’entrée à condition que le premier bit quantique d’entrée soit égal à ; dans tous les autres cas, le second bit quantique est laissé inchangé. On nomme ainsi le premier bit quantique d’entrée qubit de contrôle. Le second est en général nommé qubit cible. Cette porte quantique est notamment utilisée pour implémenter l’intrication quantique entre le qubit cible et l’un des qubits de sortie.

De façon similaire, il existe les portes cY et cZ non détaillées ici, car peu ou pas utilisées dans la suite de l’ouvrage.

La porte cNOT a la matrice de transformation suivante :

La représentation graphique de la porte...

1. Porte TOF (CCNOT)

La porte TOF, de son nom complet porte de Toffoli, a été conçue en 1980 par le scientifique italien Tommaso Toffoli. Elle consiste en une porte quantique prenant trois bits quantiques en entrée. On lui donne parfois le nom de « CCNOT » comme Controlled controlled NOT.

Controlled controlled NOT s’entend ainsi : un premier qubit de contrôle, contrôle un second qubit de contrôle qui lui-même contrôle le troisième qubit, le bit quantique cible.

Exprimé autrement, si les deux premiers qubits sont respectivement égaux à alors la porte NOT (la porte de Pauli-X) est appliquée au troisième bit quantique d’entrée.

On a trois qubits en entrée, on a donc une matrice carrée de dimension  :

Le schéma associé est sans surprise le suivant :

Illustration 10 : représentation de la porte TOF (CCNOT)

2. Porte Fredkin (CSWAP)

La porte Fredkin est, elle aussi, une porte à trois qubits d’entrée. Elle porte le nom du physicien américain Edward Fredkin. Elle est parfois surnommée « CSWAP », c’est-à-dire controlled swap ; on ajoute donc un qubit de contrôle à une porte SWAP telle qu’étudiée précédemment.

Le schéma...