Logique floue

1. Incertitude et probabilités

L’incertitude, c’est évidemment, le contraire de la certitude. Par exemple, la règle "S’il va pleuvoir, alors je prendrai mon parapluie" est sûre (à 100 %) : se mouiller n’est pas agréable. Au contraire, l’énoncé "Demain, il devrait pleuvoir" est incertain : la météo a peut-être annoncé de la pluie, mais rien ne dit qu’il pleuvra vraiment. On peut dire que la probabilité qu’il pleuve est de 80 % par exemple. Tout énoncé dont la probabilité est différente de 100 % est incertain.

2. Imprécision et subjectivité

Au contraire, l’imprécision se manifeste lorsque l’on manque... de précision ! Dans les faits, cela se traduit par des énoncés qu’il est difficile d’évaluer : ils semblent subjectifs. Par exemple, dans la phrase "S’il fait très chaud, alors je ne mettrai pas de pull", l’imprécision se situe sur la notion de "très chaud".

On est certain...

1. Logique booléenne et logique floue

En logique booléenne (la logique classique), une valeur peut seulement être vraie ou fausse. On doit définir une valeur précise qui sert de transition. Pour définir "chaud" pour notre store, cette valeur est 25°. Au-dessus de cette température, "chaud" est vrai, au-dessous, "chaud" est faux. Il n’y a pas de valeurs intermédiaires.

En logique floue, on va utiliser un ensemble flou. Il se différencie de l’ensemble booléen par la présence d’une "phase de transition", durant laquelle la variable se situe entre vrai et faux. Pour la température, entre 20° et 25°, il fait alors plus ou moins chaud.

Au-dessous de 20°C, il ne fait pas chaud, et au-dessus de 25°, il fait chaud à 100 %. Mais à 23°, il ne fait chaud qu’à 60 % (soit 0.6).

2. Fonctions d’appartenance

On voit ainsi qu’en logique booléenne, on ne travaille que sur les termes "vrai" ou "faux". On passe de faux (0 %) à vrai (100 %) à 25°. En logique floue, on rajoute des états intermédiaires : de 20° à 25° on va passer progressivement de faux à vrai. Ainsi, on peut lire sur le graphique que le degré d’appartenance (ou valeur de vérité) à "chaud" pour une température de 23° est de 0.6 soit 60 %. De même, à 24°, il fait "chaud" à 80 %.

La courbe indiquant les degrés d’appartenance est appelée fonction d’appartenance. Elle permet de définir un ensemble flou, possédant des limites qui ne sont pas nettes, mais progressives, comme un fondu. Ces ensembles flous peuvent utiliser différentes fonctions d’appartenance qui associent toutes un degré d’appartenance aux différentes valeurs possibles. Il existe cependant cinq fonctions plus classiques.

1. Opérateurs booléens

En logique booléenne, ces trois opérateurs peuvent se représenter grâce à des diagrammes de Venn. Dans ceux-ci, les ensembles sont représentés par des cercles.

Ici, on a deux ensembles, A et B, qui se chevauchent en partie :

La négation de l’ensemble A est dite NON A et s’écrit . Elle représente l’ensemble des valeurs qui n’appartiennent pas à A. Elle est ici représentée par la zone finement hachurée :

L’union de A et B est dite A OU B et se note A B. Elle représente l’ensemble des valeurs appartenant à l’un ou l’autre des ensembles. Elle est ici représentée par la zone finement hachurée :

Enfin, l’intersection lue A ET B et notée A B, représente l’ensemble des valeurs appartenant aux deux ensembles en même temps. Elle est ici représentée par la zone finement hachurée commune aux ensembles :

2. Opérateurs...

1. Règles en logique booléenne

Dans un système classique, comme le contrôle du store du début de ce chapitre, une règle s’exprime sous la forme :

SI (condition précise) ALORS action
 

On a par exemple :

SI (température ⩾ 25°) ALORS baisser le store
 

On peut aussi concevoir des règles plus complexes. Par exemple, on pourrait prendre en compte l’éclairage extérieur, qui se mesure en lux (car s’il y a du soleil, il faut s’en protéger). Il va de 0 (nuit noire sans étoile ni lune) à plus de 100 000 (éclairage direct du soleil). Un ciel nuageux de jour correspond à un éclairage entre 200 et 25 000 lux environ (selon l’épaisseur de nuages).

Dans notre application de contrôle de store, on pourrait donc créer la règle :

SI (température ⩾ 25° ET éclairage ⩾ 30 000 lux) ALORS baisser le store
 

Cela pose cependant des problèmes lorsque les températures mesurées ou l’éclairage sont proches des valeurs limites.

2. Règles floues

Dans un système flou, les règles utilisent des valeurs floues au lieu des valeurs numériques. On note les expressions utilisées dans les règles sous la forme :

"Variable linguistique" EST "valeur linguistique"...

1. Valeur de vérité

Les différentes règles possèdent toutes une implication (la clause ALORS). Il va donc falloir exprimer à quel point la règle doit être appliquée en fonction des valeurs numériques mesurées : c’est l’étape de fuzzification.

Nous allons nous intéresser à la règle R8 :

SI température EST bon ET éclairage EST moyen ALORS store EST 
à mi-hauteur
 

Nous souhaitons savoir à quel point cette règle s’applique pour une température de 21°C et un éclairage de 80 000 lux.

On va donc commencer par chercher à quel point il fait BON. La figure suivante nous indique qu’à 21°C, il fait bon à 80 %.

Nous cherchons ensuite à quel point l’éclairage est MOYEN pour 80000 lux. On peut lire qu’il l’est à 25 % :

La règle contient donc une partie vraie à 80 % et une partie vraie à 25 %. On dira que la règle entière est vraie à 25 %, la valeur minimale (opérateur ET). C’est donc le terme le moins vrai qui donne la valeur de vérité d’une règle entière. 

2. Fuzzification et application des règles

On cherche maintenant à savoir quel sera le résultat de cette règle. Elle nous dit que le store doit être à mi-hauteur. On sait que la règle s’applique à 25 %.

On a alors de nombreux choix pour l’opérateur d’implication afin de déterminer l’ensemble flou résultant. Nous allons nous intéresser à deux d’entre eux : l’implication d’après Mamdani et celle d’après Larsen. Ce qui change entre les deux, c’est la forme de l’ensemble flou d’arrivée.

Pour l’opérateur d’implication de Mamdani, l’ensemble flou est troqué à la valeur de vérité de la règle. Pour notre règle R8 qui s’applique à 25 %, on obtiendrait donc la sortie suivante.

Pour l’opérateur d’implication...

1. Première utilisation

Dès 1987, le premier train contrôlé par un système à base de règles floues a vu le jour à Sendai, une ville à moins de 400 km au nord de Tokyo. Les ingénieurs voulaient alors maximiser le confort des voyageurs et minimiser la consommation d’énergie alors que le véhicule devait faire de nombreux changements de vitesse. La vitesse du train est donc le résultat de la logique floue.

Il s’est avéré que la consommation d’énergie a baissé de 10 % par rapport à un conducteur humain, et que les passagers vantent tous la souplesse de la conduite, principalement lors des arrêts et départs.

Il est toujours en circulation et a été le premier grand succès commercial de la logique floue.

2. Dans les produits électroniques

De nombreux autres constructeurs ont compris qu’un contrôleur flou pouvait améliorer le fonctionnement des machines qui nous entourent.

C’est ainsi que l’on est aujourd’hui...

1. Le cœur du code : les ensembles flous

using System; 
  
public class Point2D  
{ 
  public double X { get; set; } 
  public double Y { get; set; } 
 
  public Point2D(double x, double y) 
  { 
    this.X = x; 
    this.Y = y; 
  } 
}
 

public class Point2D : IComparable
 

  public int CompareTo(object obj) 
  { 
    return (int)(this.X - ((Point2D) obj).X); 
  }
 

  public override String ToString() 
  { 
    return "(" + this.X + ";" + this.Y + ")"; 
  }